📄 Treść zadania
Dla \(x=\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}\) wartość wyrażenia \(\dfrac{-2}{x-1}\) jest równa:
A
\(\sqrt{5}-1\)
B
\(\sqrt{5}\)
C
\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
D
\(\frac{\sqrt{5}-1}{5}\)
Krok 1. Rozpisanie liczby \(x\).
Całe zadanie będzie nieco prostsze w momencie, gdy trochę przekształcimy podaną liczbę \(x\). Usuwając niewymierność z mianownika, otrzymamy taką oto sytuację:
$$x=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{5}-2)\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=$$
$$=\frac{5-2\sqrt{5}}{5}=1-\frac{2\sqrt{5}}{5}$$
Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
Podstawiając teraz wyznaczoną przed chwilą wartość \(x\) do naszego wyrażenia, otrzymamy takie oto działanie:
$$\frac{-2}{x-1}=\frac{-2}{1-\frac{2\sqrt{5}}{5}-1}=\frac{-2}{-\frac{2\sqrt{5}}{5}}=$$
$$=\frac{2}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=2:\frac{2\sqrt{5}}{5}=2\cdot\frac{5}{2\sqrt{5}}=$$
$$=\frac{10}{2\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=$$
$$=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$$