📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest ostry oraz \(cosα=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{1+sinα}\).
Krok 1. Sprowadzenie składników wyrażenia do wspólnego mianownika.
$$\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{1+sinα}=$$
$$=\frac{sinα\cdot\color{blue}{(1+sinα)}}{cosα\cdot\color{blue}{(1+sinα)}}+\frac{\color{blue}{(cosα)}\cdot cosα}{\color{blue}{(cosα)}\cdot(1+sinα)}=$$
$$=\frac{sinα+sin^2α+cos^2α}{cosα\cdot(1+sinα)}$$
Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia przy wykorzystaniu jedynki trygonometrycznej.
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$\require{cancel}
\frac{sinα+sin^2α+cos^2α}{cosα\cdot(1+sinα)}=$$
$$=\frac{\cancel{sinα+1}}{cosα\cdot\cancel{(1+sinα)}}=$$
$$=\frac{1}{cosα}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=1:\frac{\sqrt{3}}{3}=$$
$$=1\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}$$
Z otrzymanego wyniku możemy jeszcze usunąć niewymierność znajdującą się w mianowniku:
$$\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$$