📄 Treść zadania
Wykaż, że jeżeli \(α\) jest kątem ostrym i \(tgα=2\), to \(cosα\) jest liczbą niewymierną.
Krok 1. Zbudowanie układu równań.
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) oraz że \(sin^2α+cos^2α=1\). Skoro tak, to spróbujmy z tych własności oraz z danych z treści zadania ułożyć następujący układ równań:
$$\begin{cases} \frac{sinα}{cosα}=2 \\ sin^2α+cos^2α=1 \end{cases}$$
Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie chyba wyznaczyć sinusa z pierwszego równania i podstawić go do drugiego równania, zatem:
$$\begin{cases} \frac{sinα}{cosα}=2 \quad\bigg/\cdot cosα \\ sin^2α+cos^2α=1 \end{cases}$$
$$\begin{cases} sinα=2cosα \\ sin^2α+cos^2α=1 \end{cases}$$
Podstawiając sinusa z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$(2cosα)^2+cos^2α=1$$
$$4cos^2α+cos^2α=1$$
$$5cos^2α=1$$
$$cos^2α=\frac{1}{5}$$
$$cosα=\sqrt{\frac{1}{5}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{1}{5}}$$
Ujemną wartość odrzucamy, bo mamy podaną informację że \(α\) jest kątem ostrym, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. To oznacza, że \(cosα=\sqrt{\frac{1}{5}}\), a skoro \(\sqrt{\frac{1}{5}}\) jest liczbą niewymierną, to na tym możemy zakończyć dowodzenie.