📄 Treść zadania
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}\).
Przekształćmy to równanie w następujący sposób:
$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}$$
$$\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\le\frac{a^2+b^2}{2} \quad\bigg/\cdot4$$
$$a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2$$
$$0\le a^2-2ab+b^2$$
$$0\le (a-b)^2$$
Z racji tego, że kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy zero, to dowód możemy uznać za zakończony.