📄 Treść zadania
W trójkącie \(ABC\) o polu równym \(10cm^2\) długość boku \(AB\) wynosi \(5cm\), a kąt przy wierzchołku \(A\) ma miarę \(45°\). Długość boku \(AC\) jest równa:
A
\(2\sqrt{2}cm\)
B
\(4\sqrt{2}cm\)
C
\(4cm\)
D
\(2cm\)
W tym zadaniu możemy skorzystać ze wzoru na "pole trójkąta z sinusem", czyli \(P=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha\), gdzie \(a=5cm\), natomiast \(b\) to długość poszukiwanego boku \(AC\). Wiedząc, że \(sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\), otrzymamy:
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha$$
$$10=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin45°$$
$$10=\frac{1}{2}\cdot5\cdot b\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$20=5b\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$40=5b\cdot\sqrt{2}$$
$$8=b\cdot\sqrt{2}$$
$$b=\frac{8}{\sqrt{2}}$$
$$b=\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$
$$b=\frac{8\sqrt{2}}{2}$$
$$b=4\sqrt{2}[cm]$$