Zadanie 21 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Operon 2020 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Przeanalizowanie sytuacji.
Kluczem do sukcesu jest dobre przeanalizowanie tej sytuacji. Załóżmy, że mamy \(5\) zawodników. W takiej sytuacji pierwszym graczem meczu może być właśnie jedna z tych pięciu osób, a drugim graczem będzie jedna z czterech pozostałych. Gdybyśmy więc zastosowali tutaj regułę mnożenia, to wyszłoby nam, że mamy \(5\cdot4=20\) partii. Musimy jeszcze wziąć poprawkę na to, że licząc w ten sposób, każdą partię policzymy dwukrotnie, bo policzymy osobno zdarzenie np. \((2;5)\) jak i \((5;2)\), a to będzie przecież ta sama partia, z tymi samymi zawodnikami. Z tego też względu ostateczna liczba partii jest dwa razy mniejsza, niż to co wyjdzie nam w regule mnożenia.

Krok 2. Zapisanie równania.
To teraz analogicznie, spróbujmy podejść do rozwiązania zadania. Mamy \(n\) zawodników, a każdy z nich może zagrać mecz z \(n-1\) przeciwników (bo nie zagra sam ze sobą, tylko ze wszystkimi pozostałymi). Chcemy, by partie były unikalne, więc możemy zapisać, że:
$$\frac{n\cdot(n-1)}{2}=28$$ $$n\cdot(n-1)=56$$ $$n^2-n=56$$ $$n^2-n-56=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-56\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-56)=1-(-224)=225$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{225}=15$$

$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-15}{2\cdot1}=\frac{1-15}{2}=\frac{-14}{2}=-7$$ $$n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+15}{2\cdot1}=\frac{1+15}{2}=\frac{16}{2}=8$$

Ujemny wynik odrzucamy, więc zostaje nam \(n=8\). To oznacza, że w turnieju zagrało \(8\) zawodników.