📄 Treść zadania
Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((4, 6, 9,...)\) można obliczyć ze wzoru:
A
\(n(n+3)\)
B
\(\frac{3n+5}{2}\cdot n\)
C
\(8\left[\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right]\)
D
\(2\left[\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right]\)
Krok 1. Ustalenie jaki jest to ciąg.
Musimy na początku ustalić jaki jest to ciąg i jakie są jego kluczowe parametry. Na pewno nie jest to ciąg arytmetyczny, bo drugi wyraz jest o \(2\) większy od pierwszego, a trzeci wyraz jest o \(3\) większy od drugiego. Powinniśmy dostrzec, że nasz ciąg jest geometryczny, bo każdy wyraz jest \(1,5\) razy większy od poprzedniego. Iloraz ciągu możemy nawet obliczyć w następujący sposób:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{6}{4}$$
$$q=\frac{3}{2}$$
Możemy więc powiedzieć, że nasz ciąg jest geometryczny, a kluczowymi liczbami dla tego ciągu będą \(q=\frac{3}{2}\) oraz \(a_{1}=4\).
Krok 2. Obliczenie sumy \(n\) początkowych wyrazów.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów i podstawiając dane, które przed chwilą sobie wyznaczyliśmy otrzymamy:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{n}=4\cdot\frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^n}{1-\frac{3}{2}}$$
$$S_{n}=4\cdot\frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^n}{-\frac{1}{2}}$$
$$S_{n}=4\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right):\left(-\frac{1}{2}\right)$$
$$S_{n}=4\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)\cdot(-2)$$
$$S_{n}=-8\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)$$
Musimy się jeszcze dopasować do proponowanych odpowiedzi i aby lepiej zrozumieć to przekształcenie to możemy zamienić \(-8\) na \(8\cdot(-1)\), otrzymując:
$$S_{n}=8\cdot(-1)\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)$$
$$S_{n}=8\cdot\left(-1+\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)$$
$$S_{n}=8\cdot\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right)$$