📄 Treść zadania
W pewnym ciągu arytmetycznym suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa \(5\frac{1}{2}\), a suma trzech pierwszych wyrazów jest równa \(12\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A
\(1\frac{1}{2}\)
B
\(4\frac{1}{2}\)
C
\(-\frac{1}{2}\)
D
\(1\)
Krok 1. Rozpisanie sumy dwóch i trzech pierwszych wyrazów.
Suma dwóch pierwszych wyrazów to tak naprawdę \(a_{1}+a_{2}\). Suma trzech pierwszych wyrazów to \(a_{1}+a_{2}+a_{3}\). Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy napisać, że \(a_{2}=a_{1}+r\) oraz \(a_{3}=a_{1}+2r\). Jeżeli tak rozpiszemy sobie tę sytuację to otrzymamy:
$$a_{1}+a_{2}=5\frac{1}{2}$$
$$a_{1}+a_{1}+r=5\frac{1}{2}$$
$$2a_{1}+r=5\frac{1}{2}$$
$$\text{oraz}$$
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}=12$$
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=12$$
$$3a_{1}+3r=12$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu arytmetycznego.
Z naszych równań otrzymanych w pierwszym kroku możemy ułożyć teraz układ równań:
\begin{cases} 2a_{1}+r=5\frac{1}{2} \\ 3a_{1}+3r=12 \end{cases}
Ten układ równań najlepiej jest rozwiązać metodą podstawiania, wyznaczając wartość \(r\) z pierwszego równania:
\begin{cases} r=5\frac{1}{2}-2a_{1} \\ 3a_{1}+3r=12 \end{cases}
Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$3a_{1}+3\cdot\left(5\frac{1}{2}-2a_{1}\right)=12$$
$$3a_{1}+16\frac{1}{2}-6a_{1}=12$$
$$-3a_{1}=-4\frac{1}{2}$$
$$a_{1}=1\frac{1}{2}$$