📄 Treść zadania
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) dane są: \(a_{3}=13\) i \(a_{5}=39\). Wtedy wyraz \(a_{1}\) jest równy:
A
\(13\)
B
\(0\)
C
\(-13\)
D
\(-26\)
To zadanie możemy rozwiązać tak naprawdę na dwa sposoby.
I sposób (na logikę):
W ciągu arytmetycznym każda kolejna liczba jest powiększona lub pomniejszona o tą samą wartość. W związku z tym różnica między piątym i trzecim wyrazem będzie taka sama jak między trzecim i pierwszym.
Skoro: \(a_{5}-a_{3}=39-13=26\)
To: \(a_{3}-a_{1}\) także będzie równe \(26\)
W ten sposób powstaje nam równanie:
$$a_{3}-a_{1}=26$$
$$13-a_{1}=26$$
$$-a_{1}=13$$
$$a_{1}=-13$$
II sposób (bardziej uniwersalny):
Za pomocą wzorów z tablic matematycznych możemy wyznaczyć \(r\), czyli różnicę ciągu arytmetycznego.
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Korzystając z tego wzoru i podstawiając wartości \(a_{3}\) oraz \(a_{5}\) otrzymamy układ równań:
\begin{cases} a_{3}=a_{1}+(3-1)r \\ a_{5}=a_{1}+(5-1)r \end{cases}\begin{cases} 13=a_{1}+2r \quad\bigg/\cdot2 \\ 39=a_{1}+4r \end{cases}\begin{cases} 26=2a_{1}+4r \\ 39=a_{1}+4r \end{cases}\begin{cases} 26-2a_{1}=4r \\ 39=a_{1}+4r \end{cases}
Korzystamy z metody podstawiania, podstawiając za \(4r\) z pierwszego równania wartość \(26-2a_{1}\) i w ten sposób otrzymujemy:
$$39=a_{1}+26-2a_{1}$$
$$13=-a_{1}$$
$$a_{1}=-13$$