📄 Treść zadania
Wykaż, że prawdziwe jest równanie \((11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}+(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{42}\).
$$(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}+(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{42} \quad\bigg/^2$$
$$\left((11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}+(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\right)^2=42$$
Teraz chyba najtrudniejsza część zadania, musimy poprawnie podnieść do kwadratu lewą stronę równania. Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). W naszym przypadku \(a=(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\), natomiast \(b=(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\). To oznacza, że wykonując potęgowanie otrzymamy:
$$11-\sqrt{21}+2\cdot(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\cdot(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}+11+\sqrt{21}=42$$
$$22+2\cdot(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\cdot(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}=42$$
$$2\cdot(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\cdot(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}=20$$
$$2\cdot\sqrt{11-\sqrt{21}}\cdot\sqrt{11+\sqrt{21}}=20$$
$$2\cdot\sqrt{(11-\sqrt{21})\cdot(11+\sqrt{21})}=20$$
$$2\cdot\sqrt{121-21}=20$$
$$2\cdot\sqrt{100}=20$$
$$2\cdot10=20$$
$$20=20$$
$$L=P$$