📄 Treść zadania
Trójmian kwadratowy \(y=ax^2+bx+c\) osiąga najmniejszą wartość równą \(-1\) dla argumentu \(\frac{3}{2}\). Do wykresu trójmianu należy punkt \(A=(3,8)\). Wyznacz współczynniki \(a, b, c\).
Krok 1. Ustalenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Ustalmy czym jest ta najmniejsza wartość, która jest wspomniana w treści zadania. Jest to tak naprawdę wierzchołek naszej paraboli. Skoro więc dla argumentu \(\frac{3}{2}\) funkcja przyjmuje wartość równą \(-1\), to parabola ma swój wierzchołek w punkcie \(W=\left(\frac{3}{2};1\right)\).
Krok 2. Zapisanie równania w postaci kanonicznej.
Skoro znamy współrzędne wierzchołka paraboli to możemy zapisać to równanie w postaci kanonicznej:
$$y=a\cdot(x-p)^2+q$$
$$y=a\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+(-1)$$
$$y=a\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-1$$
Krok 3. Podstawienie współrzędnych punktu \(A\) i wyznaczenie współczynnika \(a\).
Do postaci kanonicznej z kroku drugiego możemy teraz podstawić współrzędne punktu \(A\), co pozwoli nam wyznaczyć współczynnik \(a\).
$$y=a\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-1$$
$$8=a\cdot\left(3-\frac{3}{2}\right)^2-1$$
$$9=a\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2$$
$$9=a\cdot\frac{9}{4} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{9}$$
$$a=4$$
Krok 4. Przekształcenie równania do postaci ogólnej i wyznaczenie współczynników \(b\) oraz \(c\).
Po obliczeniu współczynnika \(a=4\) wiemy już, że postać kanoniczna tego trójmianu wygląda następująco:
$$y=4\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-1$$
Przekształćmy to teraz do postaci ogólnej:
$$y=4\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-1$$
$$y=4\cdot\left(x^2-2\cdot x\cdot\frac{3}{2}+\frac{9}{4}\right)-1$$
$$y=4\cdot\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)-1$$
$$y=4x^2-12x+9-1$$
$$y=4x^2-12x+8$$
Z postaci ogólnej możemy odczytać, że \(b=-12\) oraz \(c=8\).