📄 Treść zadania
Wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta. Samochód przejechał z miejscowości \(A\) do miejscowości \(C\) przez miejscowość \(B\), która znajduje się w połowie drogi z \(A\) do \(C\). Wartość prędkości średniej samochodu na trasie z \(A\) do \(B\) była równa \(40km/h\), a na trasie z \(B\) do \(C\) wyniosła \(60km/h\). Oblicz wartość prędkości średniej samochodu na całej trasie z \(A\) do \(C\).
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(s\) - trasa z punktu \(A\) do \(C\)
\(s_{AB}=s_{BC}=\frac{1}{2}s\) - trasa z punktu \(A\) do \(B\) oraz z \(B\) do \(C\) (bo punkt \(B\) znajduje się dokładnie w połowie drogi)
\(t_{AB}\) - czas jazdy z punktu \(A\) do \(B\)
\(t_{BC}\) - czas jazdy z punktu \(B\) do \(C\)
\(v_{AB}=40\) - prędkość jazdy z punktu \(A\) do \(B\)
\(v_{BC}=60\) - prędkość jazdy z punktu \(B\) do \(C\)
Krok 2. Zapisanie wzoru na czas jazdy.
Korzystając ze wzoru na prędkość możemy wyznaczyć wzór na czas jazdy:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow t=\frac{s}{v}$$
Spróbujmy teraz wyznaczyć wzory na czas jazdy na poszczególnych odcinkach.
Czas jazdy na trasie \(AB\):
$$t_{AB}=\frac{s_{AB}}{v_{AB}}$$
$$t_{AB}=\frac{\frac{1}{2}s}{40}$$
$$t_{AB}=\frac{1}{80}s=\frac{s}{80}$$
Czas jazdy na trasie \(BC\):
$$t_{BC}=\frac{s_{BC}}{v_{BC}}$$
$$t_{BC}=\frac{\frac{1}{2}s}{60}$$
$$t_{BC}=\frac{1}{120}s=\frac{s}{120}$$
Krok 3. Obliczenie wartości średniej prędkości na całej trasie.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami droga jest równa \(s\), a czas całej jazdy będzie równy \(t_{AB}+t_{BC}\), zatem:
$$\require{cancel}
V=\frac{s}{t_{AB}+t_{BC}}$$
$$V=\frac{s}{\frac{s}{80}+\frac{s}{120}}$$
$$V=\frac{s}{\frac{3s}{240}+\frac{2s}{240}}$$
$$V=\frac{s}{\frac{5s}{240}}$$
$$V=s:\frac{5s}{240}$$
$$V=\cancel{s}\cdot\frac{240}{5\cancel{s}}$$
$$V=\frac{240}{5}$$
$$V=48\left[\frac{km}{h}\right]$$
Średnia prędkość na całej trasie jest więc równa \(48km/h\).