📄 Treść zadania
Kąt o mierze \(\alpha\) jest ostry i \(tg\alpha=\sqrt{5}\). Wtedy:
A
\(cos^2\alpha=\frac{1}{6}\)
B
\(cos^2\alpha=\frac{1}{5}\)
C
\(cos^2\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}\)
D
\(cos^2\alpha=\frac{5}{6}\)
Krok 1. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa.
Z zależności między funkcjami trygonometrycznymi wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Korzystając z tej własności możemy zapisać, że:
$$tgα=\sqrt{5}$$
$$\frac{sinα}{cosα}=\sqrt{5}$$
Mnożąc obie strony przez \(cosα\), otrzymamy:
$$sinα=\sqrt{5}cosα$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(cos^2\alpha\).
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Wiemy też, że \(sinα=\sqrt{5}cosα\). W związku z tym:
$$\left(\sqrt{5}cosα\right)^2+cos^2α=1$$
$$5cos^2α+cos^2α=1$$
$$6cos^2α=1$$
$$cos^2α=\frac{1}{6}$$