📄 Treść zadania
Wykaż, że jeżeli \(k\gt0\), to równanie \(x^2+k(x-1)=0\) ma dwa pierwiastki.
Krok 1. Doprowadzenie równania do postaci ogólnej.
Spróbujmy zapisać to równanie w postaci ogólnej, tak aby móc z niego wyliczyć deltę. W tym celu musimy tak naprawdę wymnożyć tylko wartość \(k\) przez to co jest w nawiasie, zatem:
$$x^2+k(x-1)=0$$
$$x^2+kx-k=0$$
Krok 2. Obliczenie delty.
Mając równanie w postaci ogólnej możemy przejść do obliczenia delty. To, że mamy tutaj parametr \(k\) zamiast liczb zupełnie nam nie przeszkadza i całość wyglądać będzie następująco:
Współczynniki: \(a=1,\;b=k,\;c=-k\)
$$Δ=b^2-4ac=k^2-4\cdot1\cdot(-k)=k^2+4k$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanej delty i zakończenie dowodzenia.
Wiemy, że parametr \(k\) ma być większy od zera. Skoro tak, to otrzymana delta będzie zawsze dodatnia, bo \(k^2\) jest wtedy dodatnie oraz \(4k\) będzie dodatnie. Skoro delta jest dodatnia dla \(k\gt0\), to znaczy że równanie ma wtedy dwa rozwiązania (czyli właśnie dwa pierwiastki) i to należało udowodnić.