📄 Treść zadania
Dany jest wielomian \(W(x)=2(x-1)(x+3)(x^2+4)\). Iloczyn wszystkich rzeczywistych pierwiastków tego wielomianu jest równy:
A
\(-6\)
B
\(-3\)
C
\(12\)
D
\(24\)
Pierwiastkami wielomianu nazywamy wszystkie te zmienne \(x\), dla których wielomian przyjmuje wartość równą \(0\). Mówiąc wprost, musimy rozwiązać następujące równanie:
$$2(x-1)(x+3)(x^2+4)=0$$
Jest to równanie w postaci iloczynowej, więc wystarczy przyrównać wszystkie wartości do zera, zatem:
$$x-1=0 \quad\lor\quad x+3=0 \quad\lor\quad x^2+4=0$$
$$x=1 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x^2=-4$$
Z ostatniego równania \(x^2=-4\) nie otrzymamy rozwiązań, ponieważ nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu dałaby ujemny wynik. Stąd też jedynymi pierwiastkami tego wielomianu będą \(x=1\) oraz \(x=-3\).
Celem zadania jest podanie iloczynu wszystkich rzeczywistych pierwiastków, zatem:
$$1\cdot(-3)=-3$$