📄 Treść zadania
Ciąg \((4x, 3x+6, 9x)\) jest geometryczny i rosnący. Jego iloraz jest równy:
A
\(-\frac{3}{2}\)
B
\(-\frac{2}{3}\)
C
\(\frac{3}{2}\)
D
\(2\)
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca relacja:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$(3x+6)^2=4x\cdot9x$$
$$9x^2+36x+36=36x^2$$
$$-27x^2+36x+36=0$$
$$-3x^2+4x+4=0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=-3,\;b=4,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot(-3)\cdot4=16-(-48)=64$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-8}{2\cdot(-3)}=\frac{-12}{-6}=2$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+8}{2\cdot(-3)}=\frac{4}{-6}=-\frac{2}{3}$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwa różne wyniki, ale czy oba są poprawne? Aby to ustalić, sprawdźmy co się stanie, gdy podstawimy do wyrazów ciągu wartości \(x=2\) oraz \(x=-\frac{2}{3}\).
Dla \(x=2\):
\(a_{1}=4\cdot2=8\)
\(a_{2}=3\cdot2+6=12\)
\(a_{3}=9\cdot2=18\)
Dla \(x=-\frac{2}{3}\):
\(a_{1}=4\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{8}{3}\)
\(a_{2}=3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)+6=4\)
\(a_{3}=9\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-6\)
Widzimy, że nasz ciąg jest rosnący tylko dla \(x=2\).
Krok 4. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Celem naszego zadania jest obliczenie ilorazu ciągu. Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{12}{8}$$
$$q=\frac{3}{2}$$