📄 Treść zadania
Jeśli kąt \(\alpha\) jest ostry, a \(cos\alpha=\frac{1}{4}\) to:
A
\(sin\alpha=\frac{3}{4}\)
B
\(sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}\)
C
\(sin\alpha=\frac{15}{16}\)
D
\(sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}{16}\)
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\) w związku z tym podstawiając wartość cosinusa otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1$$
$$sin^2α+\left(\frac{1}{4}\right)^2=1$$
$$sin^2α+\left(\frac{1}{16}\right)^2=1$$
$$sin^2α=\frac{15}{16}$$
$$sinα=\sqrt{\frac{15}{16}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{15}{16}}$$
$$sinα=\frac{\sqrt{15}}{4} \quad\lor\quad sinα=-\frac{\sqrt{15}}{4}$$
Z treści zadania wiemy, że \(\alpha\) jest kątem ostrym, a dla takich kątów sinus przyjmuje wartości dodatnie. Z tego też względu ujemne rozwiązanie musimy odrzucić i zostaje nam \(sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}\).