📄 Treść zadania
W ciągu geometrycznym \((a_{n})\) mamy \(a_{3}=5\) i \(a_{4}=15\). Wtedy wyraz \(a_{5}\) jest równy:
A
\(10\)
B
\(20\)
C
\(75\)
D
\(45\)
Krok 1. Obliczenie wartości iloczynu ciągu geometrycznego.
Znając wartość dwóch kolejnych wyrazów ciągu możemy obliczyć jego iloraz:
$$q=\frac{a_{4}}{a_{3}}$$
$$q=\frac{15}{5}$$
$$q=3$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości piątego wyrazu.
Skoro znamy czwarty wyraz tego ciągu oraz iloczyn \(q\) to piąty wyraz możemy obliczyć już niemalże w pamięci, bo wystarczyłoby te dwie liczby przez siebie pomnożyć, czyli wykonać działanie \(15\cdot3=45\).
Gdybyśmy chcieli zapisać to matematycznie (co może się przydać Ci przy innych zadaniach) to można byłoby tu zastosować następujący wzór:
$$a_{n}=a_{k}\cdot q^{n-k}$$
Za pomocą tego wzoru obliczymy wartość \(n\)-tego wyrazu ciągu, jeśli znamy wartość dowolnego innego wyrazu tego ciągu (\(k\)) oraz jeśli znamy iloczyn tego ciągu. Zatem:
$$a_{5}=a_{4}\cdot q^{5-4}$$
$$a_{5}=15\cdot 3^1$$
$$a_{5}=45$$