📄 Treść zadania
Liczba \(\frac{1}{\sqrt{3}-2}-\frac{1}{\sqrt{3}+2}\) jest równa:
A
\(4\)
B
\(0\)
C
\(-4\)
D
\(-2\sqrt{3}\)
To zadanie będzie najprościej rozwiązać obliczając oddzielnie wartość wyrażenia \(\frac{1}{\sqrt{3}-2}\) i oddzielnie wyrażenia \(\frac{1}{\sqrt{3}+2}\).
Krok 1. Obliczenie wartości wyrażenia \(\frac{1}{\sqrt{3}-2}\).
Zacznijmy od \(\frac{1}{\sqrt{3}-2}\). Musimy usunąć niewymierność z mianownika i to jest ten trudniejszy przypadek, gdzie w mianowniku nie mamy jedynie pierwiastka, a całe wyrażenie. W takiej sytuacji musimy pomnożyć licznik i mianownik przez wartość \(\sqrt{3}+2\) (uwaga na znaki!), dzięki czemu w mianowniku ułamka skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1}{\sqrt{3}-2}=\frac{1\cdot(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)\cdot(\sqrt{3}+2)}=\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}^2-2^2}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}+2}{3-4}=\frac{\sqrt{3}+2}{-1}=-\sqrt{3}-2$$
Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(\frac{1}{\sqrt{3}+2}\).
Analogicznie jak przed chwilą, tutaj także musimy usunąć niewymierność z mianownika. Różnica jest tylko taka, że tym razem licznik i mianownik musimy pomnożyć przez \(\sqrt{3}-2\), zatem całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{1\cdot(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)\cdot(\sqrt{3}-2)}=\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}^2-2^2}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}=\frac{\sqrt{3}-2}{-1}=-\sqrt{3}+2$$
Krok 3. Obliczenie wartości całej liczby.
Korzystając z obliczeń dokonanych w pierwszym i drugim kroku możemy zapisać, że:
$$\frac{1}{\sqrt{3}-2}-\frac{1}{\sqrt{3}+2}=-\sqrt{3}-2-(-\sqrt{3}+2)=-\sqrt{3}-2+\sqrt{3}-2=-4$$