📄 Treść zadania
Dla pewnej liczby rzeczywistej \(x\) liczby: \(1-x\), \(2-3x\), \(10+2x\) są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\). Wyznacz \(x\) oraz oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że dla trzech kolejno następujących po sobie wyrazów zachodzi następująca relacja:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Podstawiając do tego wzoru wartości podane w treści zadania otrzymamy:
$$2-3x=\frac{(1-x)+(10+2x)}{2}$$
$$2-3x=\frac{11+x}{2}$$
$$4-6x=11+x$$
$$-7x=7$$
$$x=-1$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego, drugiego i trzeciego wyrazu.
Skoro \(x=-1\), to podstawiając tę wartość do wyrażeń podanych w treści zadania otrzymamy:
$$a_{1}=1-(-1)=1+1=2$$
$$a_{2}=2-3\cdot(-1)=2-(-3)=5$$
$$a_{3}=10+2\cdot(-1)=10-2=8$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartość pierwszego i drugiego wyrazu ciągu bez problemu obliczymy różnicę ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=5-2$$
$$r=3$$
Krok 4. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów.
Znamy wartość \(a_{1}=2\), wiemy też że \(r=3\), zatem możemy obliczyć sumę dziesięciu pierwszych wyrazów:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$S_{10}=\frac{2\cdot2+(10-1)\cdot3}{2}\cdot10$$
$$S_{10}=\frac{4+9\cdot3}{2}\cdot10$$
$$S_{10}=\frac{4+27}{2}\cdot10$$
$$S_{10}=\frac{31}{2}\cdot10$$
$$S_{10}=15,5\cdot10$$
$$S_{10}=155$$