📄 Treść zadania
Udowodnij, że nierówność \((x^2-3)^2+x^4\ge4\frac{1}{2}\) jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej.
Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Naszym zadaniem będzie przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę oraz umiejętne skorzystanie z wzorów skróconego mnożenia. Całość będzie wyglądać następująco:
$$(x^2-3)^2+x^4\ge4\frac{1}{2}$$
$$(x^2-3)^2+x^4-4\frac{1}{2}\ge0$$
$$x^4-6x^2+9+x^4-4\frac{1}{2}\ge0$$
$$2x^4-6x^2+4\frac{1}{2}\ge0 \quad\bigg/\cdot2$$
$$4x^4-12x^2+9\ge0$$
$$(2x^2-3)^2\ge0$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny, to wartość \((2x^2-3)^2\) jest na pewno większa od zera lub równa zero, zatem faktycznie ta nierówność będzie spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.