Zadanie 32 Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2019 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wynika, że:
$$a_{2}+a_{4}+a_{6}+...+a_{38}+a_{40}=1340$$ $$\text{oraz}$$ $$a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}=1400$$

Powstały nam więc tak jakby dwa oddzielne ciągi arytmetyczne, każdy składający się z 20-stu wyrazów.

Jak dobrze się przyjrzymy to zauważymy, że każdy wyraz pierwszego ciągu jest o \(r\) większy od analogicznego wyrazu z ciągu drugiego, bo przecież:
$$a_{2}=a_{1}+r$$ $$a_{4}=a_{3}+r$$ $$a_{40}=a_{39}+r$$

Możemy więc ten pierwszy ciąg zapisać jako:
$$(a_{1}+r)+(a_{3}+r)+(a_{5}+r)+...+(a_{37}+r)+(a_{39}+r)=1340$$ $$\text{czyli:}$$ $$a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}+20r=1340$$

Skoro suma \(a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}\) jest równa \(1400\), to podstawiając to do powyższego równania otrzymamy:
$$1400+20r=1340$$ $$20r=-60$$ $$r=-3$$

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego.
Skoro suma wyrazów parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów nieparzystych jest równa \(1400\), to suma wszystkich wyrazów naszego całego czterdziesto-wyrazowego ciągu wynosi:
$$S_{40}=1340+1400$$ $$S_{40}=2740$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy teraz ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$ $$S_{40}=\frac{a_{1}+a_{40}}{2}\cdot40$$

Wiemy już, że \(S_{40}=2740\) oraz że \(r=-3\). Dodatkowo wartość \(a_{40}\) możemy rozpisać jako \(a_{1}+39r\). To sprawia, że:
$$S_{40}=\frac{a_{1}+a_{1}+39r}{2}\cdot40$$ $$2740=\frac{a_{1}+a_{1}+39\cdot(-3)}{2}\cdot40$$ $$2740=(a_{1}+a_{1}+(-117))\cdot20$$ $$137=2a_{1}-117$$ $$2a_{1}=254$$ $$a_{1}=127$$

Krok 4. Obliczenie wartości czterdziestego wyrazu.
Skoro \(a_{1}=127\) oraz \(r=-3\), to korzystając z tego, że \(a_{40}=a_{1}+39r\) otrzymamy:
$$a_{40}=a_{1}+39r$$ $$a_{40}=127+39\cdot(-3)$$ $$a_{40}=127-117$$ $$a_{40}=10$$