📄 Treść zadania
Dany jest nieskończony ciąg \((a_{n})\), w którym \(a_{1}=4^{10}\), a każdy następny wyraz jest dwukrotnie mniejszy od poprzedniego. Wtedy wyraz \(a_{15}\) jest równy:
A
\(32\)
B
\(64\)
C
\(\frac{4^{10}}{15}\)
D
\(8^{-4}\)
Krok 1. Ustalenie wartości ilorazu ciągu geometrycznego.
Skoro każdy następny wyraz ma być dwa razy mniejszy od poprzedniego, to mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym w którym \(q=\frac{1}{2}\).
Krok 2. Wyznaczenie wartości \(a_{15}\).
Wiedząc, że \(a_{1}=4^{10}\) oraz \(q=\frac{1}{2}\) możemy skorzystać ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$
$$a_{15}=4^{10}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{15-1}$$
$$a_{15}=4^{10}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{14}$$
$$a_{15}=\left(2^2\right)^{10}\cdot\left(2^{-1}\right)^{14}$$
$$a_{15}=2^{20}\cdot2^{-14}$$
$$a_{15}=2^{6}$$
$$a_{15}=64$$