📄 Treść zadania
Suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od \(1001\) jest równa:
A
\(\frac{2+998}{2}\cdot499\)
B
\(\frac{2+1000}{2}\cdot500\)
C
\(\frac{2+1001}{2}\cdot500\)
D
\(\frac{1+1001}{2}\cdot1001\)
Krok 1. Dostrzeżenie ciągu arytmetycznego.
Gdybyśmy chcieli wypisać wszystkie parzyste liczby, mniejsze od \(1001\), to sytuacja wyglądałaby następująco:
$$2, 4, 6, 8, ..., 998, 1000$$
Powinniśmy zauważyć, że to jest po prostu ciąg arytmetyczny, w którym \(a_{1}=2\), \(a_{n}=1000\) oraz \(r=2\). Do ustalenia jest jeszcze ile jest tych wyrazów - będzie ich dokładnie \(n=500\).
Krok 2. Zapisanie sumy.
W zadaniu skorzystamy zatem ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
Podstawiając teraz wszystkie dane wypisane w pierwszym kroku, otrzymamy:
$$S_{500}=\frac{2+1000}{2}\cdot500$$