📄 Treść zadania
Dla pewnej liczby \(x\) ciąg \((x, x+4, 16)\) jest geometryczny. Liczba \(x\) jest równa:
A
\(8\)
B
\(4\)
C
\(2\)
D
\(0\)
Krok 1. Zapisanie równania.
Między trzema sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając poszczególne wyrazy do tego wzoru otrzymamy:
$$(x+4)^2=x\cdot16$$
$$x^2+8x+16=16x$$
$$x^2-8x+16=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Jeżeli dość sprawnie posługujemy się wzorami skróconego mnożenia, to możemy zauważyć że \(x^2-8x+16\) jest równe tak naprawdę \((x-4)^2\). Otrzymanie takiej postaci pozwoliłoby nam bardzo szybko obliczyć rozwiązanie równania, bo otrzymalibyśmy wtedy:
$$(x-4)^2=0$$
$$x-4=0$$
$$x=4$$
Jeżeli jednak nie dostrzegliśmy tutaj wzoru skróconego mnożenia, to nie pozostaje nam nic innego jak obliczenie delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=16\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot16=64-64=0$$
Delta wyszła równa zero, zatem otrzymamy tylko jedno rozwiązanie:
$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-8)}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4$$