📄 Treść zadania
Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu \((a_{n})\) są równe \(2\). Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:
A
\(1\)
B
\(11\)
C
\(21\)
D
\(31\)
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Z treści zadania wynika, że \(a_{2}=2\) oraz \(q=2\). To oznacza, że pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
$$a_{1}=a_{2}:q$$
$$a_{1}=2:2$$
$$a_{1}=1$$
Krok 2. Obliczenie sumy pięciu początkowych wyrazów ciągu.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{5}=1\cdot\frac{1-2^{5}}{1-2}$$
$$S_{5}=1\cdot\frac{1-32}{-1}$$
$$S_{5}=1\cdot\frac{-31}{-1}$$
$$S_{5}=1\cdot31$$
$$S_{5}=31$$