Zadanie 31 Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2011 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(s\) - szerokość pierwszego boiska
\(d\) - długość pierwszego boiska
\(s-8\) - szerokość drugiego boiska
\(d+4\) - szerokość drugiego boiska
\(p=65\) - długość przekątnej boiska

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
W tym zadaniu możemy wykorzystać Twierdzenie Pitagorasa, bowiem długość i szerokość boiska stanowią przyprostokątne trójkąta prostokątnego, a przekątna boiska byłaby wtedy przeciwprostokątną. Jeśli ułożymy dwa takie równania (dla pierwszego i drugiego boiska) to będziemy w stanie wyznaczyć długość i szerokość, zatem:
\begin{cases} s^2+d^2=65^2 \\ (s-8)^2+(d+4)^2=65^2 \end{cases}\begin{cases} s^2+d^2=65^2 \\ s^2-16s+64+d^2+8d+16=65^2 \end{cases}

Odejmując ten układ równań stronami pozbędziemy się zarówno \(s^2\) jaki i \(d^2\). Jeśli tego nie dostrzeżemy, to równie dobrze możemy podstawić po prawej stronie drugiego równania \(65^2=s^2+d^2\) i wtedy osiągniemy identyczny efekt, więc:
$$-16s+64+8d+16=0$$ $$-16s+8d+80=0$$ $$8d=16s-80$$ $$d=2s-10$$

Podstawiając teraz wyznaczoną wartość \(d=2s-10\) do pierwszego równania \(s^2+d^2=65^2\) otrzymamy:
$$s^2+(2s-10)^2=65^2$$ $$s^2+4s^2-40s+100=4225$$ $$5s^2-40s-4125=0 \quad\bigg/:5$$ $$s^2-8s-825=0$$

Ostatnie dzielenie przez \(5\) nie jest koniecznie, ale dzięki niemu będziemy mogli za chwilę pracować na nieco mniejszych liczbach.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=-825\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot(-825)=64-(-3300)=64+3300=3364$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{3364}=58$$

$$s_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-58}{2\cdot1}=\frac{8-58}{2}=\frac{-50}{2}=-25$$ $$s_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+58}{2\cdot1}=\frac{8+58}{2}=\frac{66}{2}=33$$

Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników i wskazanie wymiarów obydwu boisk.
Wartość ujemną obliczoną w poprzednim kroku oczywiście odrzucamy, bo szerokość nie może być wartością ujemną. To oznacza, że szerokość pierwszego boiska jest równa \(s=33\). Długość tego boiska obliczymy korzystając z wybranego równania z kroku drugiego, np.:
$$d=2s-10$$ $$d=2\cdot33-10$$ $$d=66-10$$ $$d=56$$

Wymiary pierwszego boiska to: \(33\times56\).

Musimy jeszcze obliczyć wymiary drugiego boiska:
Szerokość drugiego boiska: \(s-8=33-8=25\)
Długość drugiego boiska: \(d+4=56+4=60\)

Wymiary drugiego boiska to: \(25\times60\).