📄 Treść zadania
Dane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się \(10\) kul ponumerowanych liczbami od \(1\) do \(10\). Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym losowaniu wybieramy jedną z dziesięciu kul z pudełka czerwonego. W drugim losowaniu (z pudełka niebieskiego) także mamy możliwość otrzymania jednej z dziesięciu liczb. Zgodnie z regułą mnożenia oznacza to, że łącznie wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli par wylosowanych liczb typu \((1;6), (5;3), (7;9)\) itd.) będziemy mieć:
$$|Ω|=10\cdot10=100$$
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której kula z czerwonego pudełka ma numer mniejszy od kuli z niebieskiego. Czyli interesują nas przypadki typu:
$$(1;2), (1;3) ... (1;9), (1;10)$$
$$(2;3), (2;4) ... (2;9), (2;10)$$
$$...$$
$$(8;9), (8;10)$$
$$(9;10)$$
Widzimy wyraźnie, że jeśli na czerwonej kuli wypadnie jedynka, to sprzyjających zdarzeń mamy \(9\), kiedy wypadnie dwójka to będzie ich \(8\), kiedy trójka to \(7\) i tak dalej, aż do momentu kiedy wypadnie dziewiątka, wtedy będzie tylko jedno takie zdarzenie. To oznacza, że wszystkich zdarzeń sprzyjających mamy:
$$|A|=9+8+7+6+5+4+3+2+1=45$$
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{45}{100}=\frac{9}{20}$$