📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest ostry i \(sinα=\frac{1}{4}\). Oblicz \(3+2tg^2α\).
Krok 1. Wyznaczenie wartości cosinusa.
Znając wartość sinusa możemy przy użyciu jedynki trygonometrycznej obliczyć wartość cosinusa:
$$sin^2α+cos^2α=1$$
$$\left(\frac{1}{4}\right)^2+cos^2α=1$$
$$\frac{1}{16}+cos^2α=1$$
$$cos^2α=1-\frac{1}{16}$$
$$cos^2α=\frac{15}{16}$$
$$cosα=\sqrt{\frac{15}{16}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{15}{16}}$$
$$cosα=\frac{\sqrt{15}}{4} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{15}}{4}$$
Wartość ujemną odrzucamy, bo z treści zadania wynika, że kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie.
Krok 2. Obliczenie wartości tangensa.
Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy teraz obliczyć wartość tangensa:
$$tgα=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$$
$$tgα=\frac{1}{4}:\frac{\sqrt{15}}{4}$$
$$tgα=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{\sqrt{15}}$$
$$tgα=\frac{1}{\sqrt{15}}$$
Niewymierności z mianownika na razie nie musimy usuwać, bo jak się za chwilę okaże zniknie nam ona w trakcie dalszych obliczeń.
Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia \(3+2tg^2α\).
Znając wartość tangensa możemy już bez przeszkód dokończyć obliczenie naszego wyrażenia:
$$3+2tg^2α=3+2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right)^2=$$
$$=3+2\cdot\frac{1}{15}=3+\frac{2}{15}=3\frac{2}{15}$$