📄 Treść zadania
Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od \(1\) do \(16\), czyli \(1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot16\), jest podzielny przez \(2^{15}\).
W tym zadaniu należało zauważyć, że wszystkie liczby parzyste można zapisać używając dwójki w pewnej potędze:
$$2=2^1$$
$$4=2^2$$
$$6=2^1\cdot3$$
$$8=2^3$$
$$10=2^1\cdot5$$
$$12=2^2\cdot3$$
$$14=2^1\cdot7$$
$$16=2^4$$
Gdybyśmy teraz pomnożyli przez siebie te wszystkie liczby parzyste to otrzymalibyśmy:
$$2^1\cdot2^2\cdot2^1\cdot3\cdot2^3\cdot2^1\cdot5\cdot2^2\cdot3\cdot2^1\cdot7\cdot2^4=$$
$$=2^{1+2+1+3+1+2+1+4}\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7=$$
$$2^{15}\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7$$
Udało nam się udowodnić, że mnożąc przez siebie wszystkie parzyste liczby wynik jest na pewno podzielny przez \(2^{15}\). To oznacza, że możemy teraz mnożyć to działanie przez cokolwiek (np. przez liczby nieparzyste, które pominęliśmy), a wynik nadal będzie podzielny przez \(2^{15}\), co należało udowodnić.