📄 Treść zadania
Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\).
Krok 1. Rozpisanie długości odcinka \(CE\)
Z własności trójkątów równobocznych wiemy, że \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). To z kolei oznacza, że \(|CD|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Z treści zadania wynika, że odcinek \(CE\) stanowi \(\frac{3}{4}\) odcinka \(CD\), zatem:
$$|CE|=\frac{3}{4}|CD|$$
$$|CE|=\frac{3}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
$$|CE|=\frac{3\sqrt{3}a}{8}$$
Krok 2. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów \(CEF\) oraz \(CDB\).
Spójrzmy na trójkąty \(CEF\) oraz \(CDB\). Jeden i drugi trójkąt jest prostokątny, czyli wiemy już, że na pewno mają jedną wspólną miarę kątów. Jeden i drugi trójkąt mają też wspólny kąt \(ECF\), zatem już dwa kąty w tych trójkątach są jednakowej miary. To z kolei oznacza, że i trzeci kąt w tych trójkątach musi mieć jednakową miarę. To prowadzi nas do wniosku, że zgodnie z zasadą kąt-kąt-kąt, trójkąt \(CEF\) jest podobny do trójkąta \(CDB\).
Krok 3. Ułożenie równania i wyznaczenie długości odcinka \(CF\).
Skoro trójkąty \(CEF\) oraz \(CDB\) są podobne, to możemy ułożyć następującą proporcję:
$$\frac{|CF|}{|CD|}=\frac{|CE|}{|CB|}$$
$$\frac{|CF|}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{3\sqrt{3}a}{8}}{a}$$
$$\frac{|CF|}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$$
$$|CF|=\frac{3\sqrt{3}}{8}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
$$|CF|=\frac{3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot a}{8\cdot2}$$
$$|CF|=\frac{9a}{16}=\frac{9}{16}a$$
Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Długość \(a\) jest długością każdego z trzech boków naszego trójkąta, zatem także i boku \(BC\). Możemy więc zapisać, że z obliczeń otrzymaliśmy równanie \(|CF|=\frac{9}{16}|BC|\), czyli dokładnie takie jakie było w treści zadania. To kończy nasze dowodzenie.