Prawa Kirchhoffa: suma prądów w węźle $=0$; suma napięć w oczku $=0$.
Obwód z ogniwem: $\varepsilon=I(R_z+r)$; napięcie na zaciskach $U=\varepsilon-Ir$ — maleje przy większym prądzie.
Moc: $P=UI=I^2R=\dfrac{U^2}{R}$. Przy stałym napięciu większą moc wydziela mniejszy opór.
$R=\rho\dfrac{l}{S}$; dla metali opór rośnie z temperaturą: $R=R_0\left(1+\alpha\Delta T\right)$.
Przerwanie jednej gałęzi połączenia równoległego zwiększa opór zastępczy, więc prąd główny maleje.
∑ Najważniejsze wzory
$U=IR$
$R=R_1+R_2$
$\dfrac1R=\dfrac1{R_1}+\dfrac1{R_2}$
$P=UI=I^2R=\dfrac{U^2}{R}$
$R=\rho\dfrac lS$
$R=R_0(1+\alpha\Delta T)$
$\varepsilon=I(R+r)$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Narysuj schemat i uprość: zaznacz, co jest szeregowo, a co równolegle.
Policz opór zastępczy i prąd główny.
Rozdziel prąd/napięcie na gałęzie (w równoległym — proporcjonalnie do $\tfrac1R$).
Po zmianie w obwodzie (przerwanie, zwarcie) powtórz rachunek od nowa.
Sprawdź bilans mocy: suma mocy na elementach = moc źródła.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ $R=R_1+R_2$ dla połączenia równoległego
✓ $\tfrac1R=\tfrac1{R_1}+\tfrac1{R_2}$
opór zastępczy jest mniejszy od najmniejszego
✗ $S=\pi d^2$
✓ $S=\tfrac{\pi d^2}{4}$
to średnica, nie promień
✗ większy opór = większa moc przy stałym $U$
✓ odwrotnie
$P=\tfrac{U^2}{R}$
✗ pomijanie oporu wewnętrznego
✓ $U=\varepsilon-Ir$
przy dużych prądach istotne
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 8.2 z matury 2023
Żarówka o mocy $P=60$ W zasilana napięciem $U=230$ V ma włókno wolframowe o oporze w temperaturze $300$ K równym $R_0=63\ \Omega$. Temperaturowy współczynnik oporu wolframu wynosi $\alpha=4{,}5\cdot10^{-3}\ \tfrac1{\text{K}}$. Oblicz temperaturę świecącego włókna.
Opór w czasie pracy: $R=\dfrac{U^2}{P}=\dfrac{52900}{60}\approx881{,}7\ \Omega$.
$\dfrac{R}{R_0}=\dfrac{881{,}7}{63}\approx13{,}995$, więc $\Delta T=\dfrac{12{,}995}{4{,}5\cdot10^{-3}}\approx2888$ K.
$T=300+2888\approx3188$ K (rząd wielkości zgadza się z temperaturą pracy żarówki).
Odpowiedź: $T\approx3190$ K
Jak CKE przyznaje punkty:
1 pkt — obliczenie oporu w czasie pracy z $P$ i $U$,
2 pkt — zapisanie zależności oporu od temperatury,
3 pkt — obliczenie $\Delta T$ i temperatury końcowej.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Do źródła o stałym napięciu podłączono dwa jednakowe oporniki — raz szeregowo, raz równolegle. Moc pobierana w połączeniu równoległym jest większa od mocy w połączeniu szeregowym:
A$2$ razy
B$3$ razy
C$4$ razy
Dtyle samo
Szeregowo $R_s=2R$, równolegle $R_r=\tfrac R2$ — stosunek oporów wynosi $4$.
$P=\dfrac{U^2}{R}$, więc moc jest $4$ razy większa.
Odpowiedź:C
Dlaczego nie pozostałe? Opór zmienia się czterokrotnie, a moc jest odwrotnie proporcjonalna do oporu.
Ogniwo o SEM $\varepsilon=12$ V i oporze wewnętrznym $r=0{,}5\ \Omega$ zasila opornik $R=5{,}5\ \Omega$. Oblicz natężenie prądu i napięcie na zaciskach ogniwa.
$I=\dfrac{\varepsilon}{R+r}=\dfrac{12}{6}=2$ A.
$U=\varepsilon-Ir=12-1=11$ V.
Odpowiedź: $I=2$ A; $U=11$ V
Schemat punktowania:
1 pkt — równanie obwodu i obliczenie prądu,
2 pkt — napięcie na zaciskach.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
Drut wolframowy o średnicy $30\ \mu$m ma w temperaturze $300$ K opór $63\ \Omega$. Opór właściwy wolframu wynosi $\rho=5{,}6\cdot10^{-8}\ \Omega\cdot$m. Oblicz długość drutu.
Trzy oporniki $R_1=4\ \Omega$, $R_2=6\ \Omega$, $R_3=12\ \Omega$ połączono: $R_1$ szeregowo z równoległym połączeniem $R_2$ i $R_3$. Do obwodu przyłożono napięcie $16$ V. Oblicz prąd płynący przez każdy opornik.
W obwodzie z poprzedniego zadania przerwano gałąź z opornikiem $R_3$. Oblicz nowe natężenie prądu głównego oraz iloraz $\dfrac{I_{2}}{I_{1}}$ wskazań amperomierza po i przed przerwaniem.
Po przerwaniu: $R_z=R_1+R_2=10\ \Omega$.
$I=\dfrac{16}{10}=1{,}6$ A.
$\dfrac{1{,}6}{2}=0{,}8$ — prąd zmalał, bo opór zastępczy wzrósł.
Odpowiedź: $I=1{,}6$ A; iloraz $=0{,}8$
Schemat punktowania:
1 pkt — nowy opór zastępczy,
2 pkt — nowy prąd,
3 pkt — iloraz $0{,}8$,
4 pkt — uzasadnienie kierunku zmiany.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Grzałka o mocy $2000$ W podgrzewa $2$ litry wody od $20^\circ$C do $100^\circ$C ($c_w=4200\,\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}$). Oblicz czas grzania przy sprawności $80\%$.
$Q=mc\Delta T=2\cdot4200\cdot80=672\,000$ J.
Moc użyteczna: $P_u=0{,}8\cdot2000=1600$ W.
$t=\dfrac{672000}{1600}=420$ s $=7$ min.
Odpowiedź: $t=420$ s $=7$ min
Schemat punktowania:
1 pkt — obliczenie ciepła potrzebnego do ogrzania wody,
2 pkt — uwzględnienie sprawności,
3 pkt — obliczenie czasu,
4 pkt — zamiana na minuty.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Dwie żarówki o mocach nominalnych $40$ W i $100$ W (obie na $230$ V) połączono szeregowo i podłączono do napięcia $230$ V. Wykaż, że jaśniej świeci żarówka o mniejszej mocy nominalnej.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
