Tarcie statyczne dopasowuje się do siły zewnętrznej aż do $T_{max}=\mu_s N$; dopiero potem ciało rusza.
W układzie ciał połączonych nicią: nić nierozciągliwa $\Rightarrow$ jednakowe $|a|$; nić bez masy przez bloczek bez masy $\Rightarrow$ jednakowe naprężenie.
∑ Najważniejsze wzory
$\vec F_w=m\vec a$
$T=\mu N$
$N=mg\cos\alpha$
$F_{zsuw}=mg\sin\alpha$
$a=\dfrac{m_2g-\mu m_1g}{m_1+m_2}$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Narysuj osobny rysunek sił dla każdego ciała (diagram sił).
Wybierz osie: dla równi — wzdłuż i prostopadle do niej.
Zapisz $\sum F_x=ma$, $\sum F_y=0$ dla każdego ciała.
Rozwiąż układ względem $a$ i sił naprężenia/reakcji.
Sprawdź przypadki brzegowe ($\mu=0$, $\alpha=0$) — czy wzór daje sensowny wynik?
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ siła akcji i reakcji się równoważą
✓ działają na różne ciała
nie mogą się równoważyć
✗ $N=mg$ na równi
✓ $N=mg\cos\alpha$
podłoże dociska prostopadle
✗ tarcie zawsze $=\mu N$
✓ statyczne $\le\mu_sN$
dopasowuje się do siły zewnętrznej
✗ siła „ruchu” działająca na ciało
✓ nie ma takiej siły
ruch jednostajny nie wymaga siły
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania z dynamiki układu ciał (por. matura 2023 zad. 3)
Klocek o masie $m_1=3$ kg leży na poziomym stole i jest połączony nierozciągliwą nicią przerzuconą przez nieważki bloczek z ciężarkiem o masie $m_2=2$ kg. Współczynnik tarcia kinetycznego klocka o stół wynosi $\mu=0{,}2$, $g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Oblicz przyśpieszenie układu i siłę naprężenia nici.
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Klocek o masie $5$ kg ciągnięty jest po poziomej podłodze ze stałą prędkością siłą poziomą $10$ N. Oblicz współczynnik tarcia kinetycznego ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$).
Stała prędkość $\Rightarrow F=T=\mu mg$.
$\mu=\dfrac{10}{5\cdot10}=0{,}2$.
Odpowiedź: $\mu=0{,}2$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
Książka leży nieruchomo na stole. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Siła grawitacji działająca na książkę i siła nacisku książki na stół są przyłożone do tego samego ciała.
Siła reakcji stołu równoważy siłę grawitacji działającą na książkę.
Siła wypadkowa działająca na książkę jest równa zero.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
P/P/P1. P, 2. P, 3. P
P/P/F1. P, 2. P, 3. F
P/F/P1. P, 2. F, 3. P
P/F/F1. P, 2. F, 3. F
F/P/P1. F, 2. P, 3. P
F/P/F1. F, 2. P, 3. F
F/F/P1. F, 2. F, 3. P
F/F/F1. F, 2. F, 3. F
1. Siła grawitacji działa na książkę, a siła nacisku książki — na stół: to siły działające na różne ciała, więc nie są parą z III zasady w tym sensie — fałsz.
2. Siła reakcji stołu równoważy siłę grawitacji działającą na książkę — prawda.
3. Wypadkowa sił działających na książkę jest zerowa (spoczynek) — prawda.
Winda o masie $600$ kg rusza w górę z przyśpieszeniem $1{,}5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz siłę naprężenia liny.
II zasada w pionie: $N-mg=ma$.
$N=m(g+a)=600\cdot11{,}5=6900$ N.
Odpowiedź: $N=6900$ N
Schemat punktowania:
1 pkt — równanie $N-mg=ma$,
2 pkt — wynik $6900$ N.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
Ciało o masie $2$ kg zsuwa się z równi o kącie nachylenia $30^\circ$ przy współczynniku tarcia $\mu=0{,}1$ ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz wartość przyśpieszenia ciała.
$ma=mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha$, więc $a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)$.
Ciało o masie $m$ wciągane jest po równi o kącie $\alpha$ ze stałą prędkością siłą $F$ równoległą do równi. Współczynnik tarcia wynosi $\mu$. Wyznacz $F$ w zależności od $m$, $g$, $\alpha$ i $\mu$.
Stała prędkość $\Rightarrow$ wypadkowa $=0$.
Wzdłuż równi: $F=mg\sin\alpha+T$, gdzie $T=\mu N$.
Prostopadle: $N=mg\cos\alpha$, więc $F=mg(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)$.
Odpowiedź: $F=mg(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)$
Schemat punktowania:
1 pkt — warunek równowagi sił wzdłuż równi,
2 pkt — wyznaczenie $N=mg\cos\alpha$,
3 pkt — poprawny wzór końcowy.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Dwa klocki o masach $m_1=1$ kg i $m_2=3$ kg leżą przy sobie na gładkiej poziomej powierzchni. Na klocek $m_1$ działa pozioma siła $F=8$ N. Oblicz przyśpieszenie układu oraz siłę, jaką klocek $m_1$ działa na klocek $m_2$.
Cały układ: $a=\dfrac{F}{m_1+m_2}=\dfrac{8}{4}=2\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
Dla klocka $m_2$: $F_{12}=m_2a=3\cdot2=6$ N.
Sprawdzenie dla $m_1$: $8-6=1\cdot2$ ✓.
Odpowiedź: $a=2\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$; $F_{12}=6$ N
Schemat punktowania:
1 pkt — obliczenie przyśpieszenia układu,
2 pkt — zapisanie II zasady dla klocka $m_2$,
3 pkt — wynik $6$ N (z III zasadą dynamiki).
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Klocek o masie $m_1=2$ kg na poziomym stole połączono nicią przez bloczek z ciężarkiem $m_2=3$ kg. Tarcie pomijamy, $g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Oblicz przyśpieszenie układu i naprężenie nici.
Na wykresie zależności prędkości od czasu ciała o masie $12$ kg odcinek od $30$ s do $40$ s odpowiada jednostajnemu zmniejszaniu prędkości z $18\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ do $6\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Oblicz wartość siły wypadkowej działającej na ciało w chwili $t=35$ s i podaj jej zwrot względem prędkości.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
