Rzuty i spadek swobodny — klucz maturalny, poziom rozszerzony
PriorytetA+najwyższy zwrot z nauki
Częstotliwość2/5arkuszy 2022–2026
Punkty w arkuszuśr. 2,2 pkt (0–6)
Formy zadańwiązka 3 zadań (P/F + 2 obliczeniowe) za łącznie 5–6 pkt; często wykres $h(t)$
🔑 Sygnał: Rozdziel pion i poziom; wierzchołek toru to $v_y=0$, a nie $a=0$.
🔒 Zaloguj się, aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
🎯 Co musisz umieć
rozkładać rzut na dwa niezależne ruchy: jednostajny w poziomie i jednostajnie zmienny w pionie,
obliczać czas wznoszenia, zasięg, maksymalną wysokość i prędkość uderzenia,
odczytywać dane z wykresu $h(t)$ (wierzchołek paraboli, moment upadku),
stosować zasadę zachowania energii jako szybszą alternatywę dla kinematyki.
🔍 Jak rozpoznać zadanie
„wyrzucono pionowo w górę”, „upuszczono”, „rzucono poziomo ze stołu” → rzut,
wykres $h(t)$ z wierzchołkiem → z wierzchołka odczytujemy czas wznoszenia $t_w=\tfrac{v_0}{g}$,
„w tej samej chwili z tej samej wysokości” → porównanie ruchów w pionie.
📘 Teoria w pigułce
Rzut pionowy w górę z wysokości $h_0$: $h(t)=h_0+v_0t-\tfrac12gt^2$, $v_y(t)=v_0-gt$.
Czas wznoszenia $t_w=\dfrac{v_0}{g}$, wzniesienie ponad punkt wyrzutu $\Delta h=\dfrac{v_0^2}{2g}$.
Rzut poziomy: $x=v_0t$, $y=\tfrac12gt^2$ — czas lotu nie zależy od $v_0$, tylko od wysokości: $t=\sqrt{\tfrac{2h}{g}}$.
Zasięg rzutu poziomego: $z=v_0\sqrt{\tfrac{2h}{g}}$; prędkość uderzenia $v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}$.
Rzut ukośny: $z=\dfrac{v_0^2\sin2\alpha}{g}$, $h_{max}=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$, tor jest parabolą.
W całym rzucie (bez oporów) przyśpieszenie jest stałe, równe $g$, skierowane w dół — także w najwyższym punkcie, gdzie $v_y=0$.
∑ Najważniejsze wzory
$h(t)=h_0+v_0t-\tfrac12gt^2$
$t_w=\dfrac{v_0}{g}$
$\Delta h=\dfrac{v_0^2}{2g}$
$t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$
$z=\dfrac{v_0^2\sin2\alpha}{g}$
$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Rozdziel ruch: poziomo $v_x=\text{const}$, pionowo $a=g$ (zwrot w dół).
Przyjmij oś i zwrot dodatni — konsekwentnie w całym zadaniu.
Z danych (wykres, treść) odczytaj czas charakterystyczny: wierzchołek $\to t_w$, upadek $\to t_k$.
Zapisz równanie na $h(t)$ lub $v(t)$ i podstaw warunek ($h=0$, $v_y=0$).
Wynik sprawdź energetycznie: $\tfrac12mv_k^2=\tfrac12mv_0^2+mgh_0$.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ w najwyższym punkcie $a=0$
✓ $a=g$ cały czas
zeruje się tylko $v_y$
✗ czas lotu w rzucie poziomym zależy od $v_0$
✓ zależy tylko od $h$
ruchy są niezależne
✗ $v_k=v_0$ przy powrocie na tę samą wysokość
✓ wartość tak, ale zwrot przeciwny
to wektor
✗ $g=10$ w zadaniu CKE
✓ karta wzorów podaje $g=9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
używaj wartości z treści
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 1 z matury 2026 (wykres $h(t)$)
Z wysokości $h_0$ wyrzucono pionowo w górę kulkę z prędkością $v_0$. Kulka osiągnęła największą wysokość po $t_w=0{,}8$ s, a na podłoże spadła po $t_k=1{,}8$ s od wyrzucenia. Przyjmij $g=9{,}81\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Oblicz $v_0$ oraz $h_0$.
W najwyższym punkcie $v_y=0$: $v_0=g\,t_w=9{,}81\cdot0{,}8\approx7{,}85\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Upadek: $0=h_0+v_0t_k-\tfrac12gt_k^2$, więc $h_0=\tfrac12gt_k^2-v_0t_k$.
$h_0=\tfrac12\cdot9{,}81\cdot3{,}24-7{,}85\cdot1{,}8\approx15{,}89-14{,}13\approx1{,}76$ m.
Odpowiedź: $v_0\approx7{,}85\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$; $h_0\approx1{,}77$ m
Jak CKE przyznaje punkty:
1 pkt — zauważenie, że w wierzchołku $v_y=0$, i zapis $v_0=gt_w$,
2 pkt — obliczenie $v_0$,
3 pkt — zapisanie warunku upadku $h(t_k)=0$,
4 pkt — obliczenie $h_0$.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Kulkę wyrzucono pionowo w górę z prędkością $v_0=20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Na jaką maksymalną wysokość się wzniesie?
$h=\dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{400}{20}=20$ m.
Odpowiedź: $h=20$ m
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
Z wysokości $h=20$ m rzucono poziomo kamień z prędkością $v_0=15\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz zasięg rzutu oraz wartość prędkości kamienia tuż przed uderzeniem w ziemię.
$t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{4}=2$ s, więc $z=v_0t=30$ m.
Piłkę wyrzucono pionowo w górę z prędkością $v_0=15\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ z wysokości $h_0=10$ m ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz czas, po którym piłka spadnie na ziemię.
$0=10+15t-5t^2$, czyli $5t^2-15t-10=0 \Rightarrow t^2-3t-2=0$.
$\Delta=9+8=17$, $t=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\approx3{,}56$ s (drugi pierwiastek ujemny — odrzucamy).
Odpowiedź: $t\approx3{,}56$ s
Schemat punktowania:
1 pkt — poprawne równanie $h(t)=0$,
2 pkt — rozwiązanie równania kwadratowego,
3 pkt — wybór dodatniego pierwiastka i wynik $\approx3{,}6$ s.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Ciało wyrzucono pionowo w górę z prędkością $v_0$. Wykaż, że czas wznoszenia jest równy czasowi spadania do poziomu wyrzutu, a prędkość powrotu ma tę samą wartość co $v_0$ (opory pomijamy).
Wznoszenie: $v_y=v_0-gt=0 \Rightarrow t_w=\dfrac{v_0}{g}$, wysokość $\Delta h=\dfrac{v_0^2}{2g}$.
Spadanie z $\Delta h$ bez prędkości początkowej: $t_s=\sqrt{\dfrac{2\Delta h}{g}}=\sqrt{\dfrac{v_0^2}{g^2}}=\dfrac{v_0}{g}=t_w$. $\blacksquare$
Prędkość powrotu: $v=g\,t_s=v_0$ (zwrot przeciwny). Można też z ZZE: $\tfrac12mv^2=mg\Delta h$.
Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania:
1 pkt — wyznaczenie $t_w=\tfrac{v_0}{g}$ i $\Delta h$,
2 pkt — obliczenie $t_s$ i wykazanie równości,
3 pkt — uzasadnienie równości wartości prędkości.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Ciało rzucono ukośnie z prędkością $v_0=20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ pod kątem $30^\circ$ do poziomu ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz maksymalną wysokość i zasięg rzutu.
Z balkonu na wysokości $h_0$ upuszczono swobodnie kamień, który spadał przez $2$ s. Drugi kamień rzucono w dół z tej samej wysokości z prędkością $v_0=5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Oblicz $h_0$ oraz czas spadania drugiego kamienia ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$).
$h_0=\tfrac12gt^2=\tfrac12\cdot10\cdot4=20$ m.
Drugi kamień: $20=5t+5t^2 \Rightarrow t^2+t-4=0$.
$t=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}\approx1{,}56$ s.
Odpowiedź: $h_0=20$ m; $t\approx1{,}56$ s
Schemat punktowania:
1 pkt — obliczenie $h_0=20$ m,
2 pkt — równanie ruchu drugiego kamienia,
3 pkt — rozwiązanie i wybór dodatniego pierwiastka,
4 pkt — wynik $\approx1{,}6$ s.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Ze szczytu wieży o wysokości $H$ wyrzucono pionowo w górę kulkę z prędkością $v_0=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Kulka uderzyła w ziemię z prędkością o wartości $30\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz wysokość wieży i całkowity czas lotu.
Z zasady zachowania energii: $\tfrac12v_k^2=\tfrac12v_0^2+gH \Rightarrow H=\dfrac{v_k^2-v_0^2}{2g}=\dfrac{900-100}{20}=40$ m.
Czas: $v_k=-30$ (w dół), $-30=10-10t \Rightarrow t=4$ s.
Sprawdzenie: $h(4)=10\cdot4-5\cdot16=-40$ — zgadza się z $H=40$ m.
Odpowiedź: $H=40$ m; $t=4$ s
Wskazówka: Energetycznie zadanie schodzi do dwóch linijek — warto zawsze sprawdzić tę drogę.
Schemat punktowania:
1 pkt — zastosowanie ZZE lub wzoru $v^2-v_0^2=2a\Delta h$,
2 pkt — obliczenie $H=40$ m,
3 pkt — równanie na prędkość końcową,
4 pkt — całkowity czas lotu $4$ s.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
