Trójki liczb naturalnych \(a\), \(b\) i \(c\) które spełniają warunek \(a^2+b^2=c^2\) nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy z wykorzystaniem wzorów:

$$a=2n+1 \quad\quad\quad b=2n(n+1) \quad\quad\quad c=2n^2+2n+1$$



gdzie \(n\) oznacza dowolną liczbę naturalną (\(n\ge1\)). W zadaniach 8. i 9. liczby \(a\), \(b\) i \(c\) są wyznaczone za pomocą tych wzorów.



Jeżeli najmniejsza z liczb \(a\), \(b\) i \(c\) jest równa \(9\), to największa z tych liczb jest równa:

A \(41\)
B \(73\)
C \(145\)
D \(181\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ustalenie, która liczba jest najmniejsza, a która największa. Rozpiszmy każdą z liczb, tak aby móc ustalić, która z nich jest najmniejsza, a która największa: \(a=2n+1\) \(b=2n(n+1)=2n^2+2n\) \(c=2n^2+2n+1\) Zwróćmy uwagę, że w każdej liczbie pojawia się suma dodatnich liczb, z których jedna jest równa \(2n\). W pierwszej liczbie do tej wartości \(2n\) dodajemy dodatkowo \(1\), w drugiej \(2n^2\), a w trzeciej \(2n^2+1\). To prowadzi nas do wniosku, że jeżeli \(n\) jest liczbą naturalną, to najmniejszą z podanych liczb będzie \(a\), natomiast największą będzie \(c\). Krok 2. Obliczenie wartości największej liczby. Najmniejszą ze wszystkich liczb jest \(a\), która jest opisana jako \(2n+1\). Skoro jest ona równa \(9\), to: $$2n+1=9 \           ,\ 2n=8 \           ,\ n=4$$ Największą liczbą jest \(c\) i jest ona opisana jako \(2n^2+2n+1\). Skoro więc \(n=4\), to: $$2\cdot4^2+2\cdot4+1=2\cdot16+8+1=32+8+1=41$$

Teoria:      
W trakcie opracowania