Obwód pewnego trójkąta prostokątnego wynosi \(9+3\sqrt{5}\). Oznacza to, że przyprostokątne tego trójkąta mogą mieć długość:

A \(4\) i \(5\)
B \(3\) i \(6\)
C \(2\sqrt{5}\) i \(\sqrt{5}\)
D \(5\) i \(3\sqrt{5}\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Aby poznać rozwiązanie tego zadania, musimy obliczyć długości przeciwprostokątnych każdego z proponowanych trójkątów. W każdej z odpowiedzi mamy podaną parę długości przyprostokątnych, zatem przeciwprostokątną obliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa: Odp. A. $$c^2=4^2+5^2 \           ,\ c^2=16+25 \           ,\ c^2=41 \           ,\ c=\sqrt{41} \quad\lor\quad c=-\sqrt{41}$$ Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{41}\). Od razu też widzimy, że ta odpowiedź nam nie pasuje, bo otrzymaliśmy obwód równy \(4+5+\sqrt{41}=9+\sqrt{41}\). Odp. B. $$c^2=3^2+6^2 \           ,\ c^2=9+36 \           ,\ c^2=45 \           ,\ c=\sqrt{45} \quad\lor\quad c=-\sqrt{45}$$ Ujemną długość odrzucamy, zostaje nam więc \(c=\sqrt{45}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(c=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}\). Ta odpowiedź nam pasuje, bo wtedy faktycznie obwód jest równy \(3+6+3\sqrt{5}=9+3\sqrt{5}\). Odp. C. $$c^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2 \           ,\ c^2=4\cdot5+5 \           ,\ c^2=20+5 \           ,\ c^2=25 \           ,\ c=5 \quad\lor\quad c=-5$$ Ujemną długość odrzucamy, zostaje nam więc \(c=5\). Ta odpowiedź też nam nie pasuje, bo obwód trójkąta wynosi tutaj \(2\sqrt{5}+\sqrt{5}+5=5+3\sqrt{5}\) Odp. D. $$c^2=5^2+(3\sqrt{5})^2 \           ,\ c^2=25+9\cdot5 \           ,\ c^2=25+45 \           ,\ c^2=70 \           ,\ c=\sqrt{70} \quad\lor\quad c=-\sqrt{70}$$ Ujemną długość odrzucamy, zostaje nam więc \(c=\sqrt{70}\). Ta odpowiedź też nam nie pasuje, ponieważ obwód tego trójkąta wynosi \(5+3\sqrt{5}+\sqrt{70}\). To oznacza, że prawidłowa jest odpowiedź B.

Teoria:      
W trakcie opracowania