Kąt \(α\) jest ostry i \(sinα=\frac{4}{5}\). Wtedy wartość wyrażenia \(sinα-cosα\) jest równa:

A \(\frac{1}{5}\)
B \(\frac{3}{5}\)
C \(\frac{17}{25}\)
D \(\frac{1}{25}\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości cosinusa. W zadaniu skorzystamy z tzw. "jedynki trygonometrycznej" opisanej wzorem \(sin^2α+cos^2α=1\). Do tego wzoru podstawimy sobie wartość sinusa z treści zadania i w ten sposób wyznaczymy wartość cosinusa, zatem: $$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\ \left(\frac{4}{5}\right)^2+cos^2α=1 \           ,\ \frac{16}{25}+cos^2α=1 \           ,\ cos^2α=\frac{9}{25} \           ,\ cosα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{5}$$ Wartość ujemną odrzucamy, bo cosinus dla kątów ostrych przyjmuje jedynie wartości dodatnie. Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα-cosα\). Znając wartości sinusa i cosinusa pozostaje nam już tylko obliczenie końcowej wartości wyrażenia: $$sinα-cosα=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania