Wskaż oś liczbową, na której przedstawiono zbiór wszystkich wartości \(p\), dla których funkcja liniowa \(f(x)=(8-p^2)x+p\) jest rosnąca.

A
B
C
D

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie nierówności. Funkcja liniowa w postaci \(y=ax+b\) jest rosnąca wtedy, gdy współczynnik kierunkowy \(a\) jest większy od zera. W naszym przypadku \(a=8-p^2\), zatem musimy rozwiązać następującą nierówność: $$8-p^2\gt0$$ Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu. Powstała nam nierówność kwadratowa, którą precyzyjniej moglibyśmy jeszcze zapisać jako \(-p^2+8\gt0\). Aby rozwiązać taką nierówność, to jak to zwykle bywa, musimy zacząć od wyznaczenia miejsc zerowych, czyli sprawdzenia kiedy \(8-p^2=0\), zatem: $$-p^2+8=0 \           ,\ p^2=8 \           ,\ p=\sqrt{8} \quad\lor\quad p=-\sqrt{8}$$ Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli. Zaznaczając na osi liczbowej wartości wyznaczone przed chwilą możemy przystąpić do rysowania paraboli. Jej ramiona będą skierowane do dołu (bo przed \(p^2\) pojawił się minus), zatem całość będzie wyglądać następująco: Krok 4. Odczytanie rozwiązania. Z rysunku wynika, że wartości większe od zera są przyjmowane dla \(p\in(-\sqrt{8};\sqrt{8})\). To z kolei oznacza, że właśnie dla takich wartości naszego \(p\) funkcja liniowa będzie rosnąca. Omawiany przedział został zaprezentowany w trzeciej odpowiedzi.

Teoria:      
W trakcie opracowania