Zbiorem wartości funkcji \(f(x)=-2(x+3)(x-4)\) jest przedział:

A \(\left(-\infty,24\frac{1}{2}\right\rangle\)
B \(\left\langle-24\frac{1}{2},+\infty\right)\)
C \(\left\langle24\frac{1}{2},+\infty\right)\)
D \(\left\langle-25\frac{1}{2},+\infty\right)\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Spróbujmy sobie zwizualizować to zadanie. Narysujmy parabolę (jej ramiona będą skierowane do dołu, bo po wymnożeniu wszystkich wyrazów współczynnik kierunkowy \(a\) wyjdzie ujemny) i zobaczmy jak będzie wyglądać zbiór wartości funkcji. Z postaci iloczynowej możemy też szybko wyznaczyć miejsca zerowe tej funkcji, bo wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera: $$x+3=0 \quad\lor\quad x-4=0 \           ,\ x=-3 \quad\lor\quad x=4$$ Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Z rysunku wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od minus nieskończoności do współrzędnej igrekowej wierzchołka tej paraboli (zapisywanej w matematyce symbolem \(q\)). Krok 2. Zapisanie równania w postaci ogólnej. Współrzędną \(q\) możemy obliczyć ze wzoru: \(q=\frac{-Δ}{4a}\). Musimy zatem obliczyć deltę, a żeby obliczyć deltę to najpierw całe równanie musimy zapisać w postaci ogólnej, zatem wymnażając wszystkie wyrazy otrzymamy: $$f(x)=-2(x+3)(x-4) \           ,\ f(x)=-2(x^2-4x+3x-12) \           ,\ f(x)=-2(x^2-x-12) \           ,\ f(x)=-2x^2+2x+24$$ Krok 3. Obliczenie współrzędnej \(q\). Najpierw obliczmy potrzebną deltę: Współczynniki: \(a=-2,\;b=2,\;c=24\) $$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-2)\cdot24=4-(-192)=196$$ W związku z tym współrzędna \(q\) będzie równa: $$q=\frac{-Δ}{4a} \           ,\ q=\frac{-196}{4\cdot(-2)} \           ,\ q=\frac{-196}{-8} \           ,\ q=24\frac{1}{2}$$ Krok 4. Ustalenie zbioru wartości funkcji. Zgodnie z naszym szkicowym rysunkiem i obliczeniami możemy zapisać, że zbiorem wartości naszej funkcji jest przedział: $$y\in(-\infty,q\rangle \           ,\ y\in(-\infty,24\frac{1}{2}\rangle$$

Teoria:      
W trakcie opracowania