Wartość wyrażenia \(x-1+\frac{1}{x-1}\) dla \(x=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) jest równa:

A \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
B \(3\)
C \(\frac{1}{3}\)
D \(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Uproszczenie zapisu liczby \(x\). Zacznijmy od uproszczenia zapisu liczby \(x\), a dokładniej rzecz ujmując od usunięcia niewymierności z mianownika. W tym celu musimy licznik oraz mianownik ułamka pomnożyć przez wartość znajdującą się w mianowniku, czyli przez \(\sqrt{3}\). Obliczenia będą wyglądać następująco: $$x=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+3}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$ Krok 2. Podstawienie danych do wyrażenia. Podstawiając wartość \(x\) do naszego wyrażenia bardzo wiele rzeczy zacznie się teraz skracać, a całość będzie wyglądać następująco: $$x-1+\frac{1}{x-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}+1-1+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}+1-1}= \           ,\ =\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}= \           ,\ =\frac{\sqrt{3}}{3}+1\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}= \           ,\ =\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}= \           ,\ =\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}= \           ,\ =\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{3}= \           ,\ =\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}= \           ,\ =\frac{1}{3}\sqrt{3}+\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania