Dane są liczby \(a=2\cdot log_{4}2\) oraz \(b=log_{4}8\). Różnica \(a-b\) jest równa:

A \(1\)
B \(\frac{1}{2}\)
C \(-\frac{1}{2}\)
D \(-2\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Do zadania można podejść na różne sposoby, więc pokażmy sobie różne metody rozwiązania takiego przykładu. I sposób - rozwiązując każdy logarytm osobno. Zacznijmy od liczby \(a\). Z własności potęg wiemy, że dwójkę stojącą przed logarytmem możemy przenieść w miejsce potęgi liczby logarytmowanej, dzięki czemu otrzymamy: $$a=2\cdot log_{4}2=log_{4}2^2=log_{4}4=1$$ Logarytm \(b\) jest nieco trudniejszy, dlatego rozpiszmy go sobie w taki sposób, by przejść do postaci potęgowej: $$log_{4}8=x \Rightarrow 4^x=8$$ Pamiętając o tym, że \(4=2^2\) oraz że \(8=2^3\), otrzymamy: $$4^x=8 \           ,\ (2^2)^x=2^3 \           ,\ 2^{2x}=2^3 \           ,\ 2x=3 \           ,\ x=1,5$$ To oznacza, że \(b=log_{4}8=1,5\) Teraz sprawa jest już prosta, bowiem skoro \(a=1\) oraz \(b=1,5\), to \(a-b=1-1,5=-\frac{1}{2}\). II sposób - korzystając z działań na logarytmach Rozpiszmy sobie logarytm \(a\), przenosząc dwójkę w miejsce wykładnika potęgi liczby logarytmowanej: $$a=2\cdot log_{4}2=log_{4}2^2=log_{4}4$$ Oczywiście wartość powyższego logarytmu jest równa \(1\), ale nam postać \(log_{4}4\) bardzo pasuje, bo użyjemy jej w odejmowaniu logarytmów, więc możemy ją tak zostawić. Korzystając ze wzoru \(log_{a}b-log_{a}c=log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)\) możemy zapisać, że: $$log_{4}4-log_{4}8=log_{4}\frac{4}{8}=log_{4}\frac{1}{2}$$ Aby rozwiązać taki logarytm, najprościej będzie przejść do zapisu potęgowego: $$log_{4}\frac{1}{2}=x \Rightarrow 4^x=\frac{1}{2}$$ Wiedząc, że \(\frac{1}{2}=2^1\) możemy zapisać, że: $$4^x=\frac{1}{2} \           ,\ {(2^2)}^x=2^{-1} \           ,\ 2^{2x}=2^{-1} \           ,\ 2x=-1 \           ,\ x=-\frac{1}{2}$$ To oznacza, że \(a-b=-\frac{1}{2}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania