Dany jest trójkąt \(ABC\). Na boku \(AB\) tego trójkąta wybrano punkt \(D\), taki, że \(|AD|=\frac{1}{4}|AB|\), a na boku \(BC\) wybrano taki punkt \(E\), że \(|BE|=\frac{1}{5}|BC|\) (zobacz rysunek poniżej). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(20\).





Oblicz pole trójkąta \(DBE\).

Odpowiedź:      

\(P_{DBE}=3\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprostszą metodą wydaje się być wykorzystanie tak zwanego "wzoru na pole trójkąta z sinusem", czyli wzoru \(P=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha\). Oznaczmy sobie kąt przy wierzchołku \(B\) jako kąt \(\alpha\). Krok 2. Zapisanie wzorów na pole trójkąta \(ABC\) oraz \(DBE\). Wiemy, że pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(20\). Rozpiszmy sobie zatem ten trójkąt przy wykorzystaniu wzoru na pole z sinusem: $$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot|BC|\cdot sin\alpha \           ,\ 20=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot|BC|\cdot sin\alpha \           ,\ |AB|\cdot|BC|\cdot sin\alpha=40$$ Teraz rozpiszmy w identyczny sposób pole trójkąta \(DBE\): $$P_{DBE}=\frac{1}{2}\cdot |DB|\cdot|BE|\cdot sin\alpha$$ Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(DBE\). Z treści zadania wiemy, że \(|AD|=\frac{1}{4}|AB|\), czyli tym samym \(|DB|=\frac{3}{4}|AB|\) Dodatkowo wiemy, że \(|BE|=\frac{1}{5}|BC|\). Podstawiając te dane do powyższego wzoru, otrzymamy: $$P_{DBE}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}|AB|\cdot\frac{1}{5}|BC|\cdot sin\alpha \           ,\ P_{DBE}=\frac{3}{40}\cdot|AB|\cdot|BC|\cdot sin\alpha$$ W poprzednim kroku obliczyliśmy, że \(|AB|\cdot|BC|\cdot sin\alpha=40\), zatem: $$P_{DBE}=\frac{3}{40}\cdot40 \           ,\ P_{DBE}=3$$

Teoria:      
W trakcie opracowania