Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej). Długości boków \(AB\) i \(AC\) są równe odpowiednio \(|AB|=3r\) oraz \(|AC|=\sqrt{3}r\).





Oblicz miary wszystkich kątów trójkąta \(ABC\).

Odpowiedź:      

\(30°, 30°, 120°\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Zwróćmy uwagę, że z wierzchołka \(C\) możemy dorysować bok w taki sposób, że otrzymamy trójkąt oparty na średnicy okręgu. Z własności trójkątów wiemy, że taki trójkąt oparty na średnicy będzie zawsze prostokątny i to będzie punkt wyjścia do dalszych obliczeń. Nanosząc dane z treści zadania otrzymamy następujący rysunek szkicowy: Ustalmy jeszcze skąd wiemy, że odcinek \(DB\) ma długość \(r\). Z treści zadania wynika, że \(|AB|=3r\), a skoro odcinek \(AS\) ma długość \(r\) oraz \(SD\) ma długość \(r\), to odcinek \(DB\) musi mieć \(3r-2r=r\). Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(CD\). Skoro trójkąt \(ACD\) jest prostokątny, to możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa. $$|AC|^2+|CD|^2=|AD|^2 \           ,\ (\sqrt{3}r)^2+|CD|^2=(2r)^2 \           ,\ 3r^2+|CD|^2=4r^2 \           ,\ |CD|^2=r^2 \           ,\ |CD|=r \quad\lor\quad |CD|=-r$$ Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem \(|CD|=r\). Krok 3. Dostrzeżenie trójkąta o kątach \(30°, 60°, 90°\). Powinniśmy zauważyć, że trójkąt \(ADC\) jest trójkątem o kątach \(30°, 60°, 90°\). Wynika to wprost z własności trójkąta, gdyż jedna przyprostokątna ma długość \(r\), a przeciwprostokątna ma \(2r\), czyli jest dwa razy od niej dłuższa. Dodatkowo druga przyprostokątna jest \(\sqrt{3}\) razy większa od pierwszej. To wszystko to cechy charakterystyczne właśnie dla trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). W związku z tym \(|\sphericalangle CAD|=30°\) oraz \(|\sphericalangle ADC|=60°\). Krok 4. Obliczenie miary kąta \(CDB\). Spójrzmy na kąt \(CBD\). Jest to kąt przyległy do kąta o mierze \(60°\), a wiemy, że suma miar kątów przyległych jest zawsze równa \(180°\). Skoro tak, to: $$|\sphericalangle CDB|=180°-60°=120°$$ Krok 5. Obliczenie pozostałych miar kątów trójkąta \(DBC\) oraz \(ABC\). Wiemy już, że trójkąt \(DBC\) jest trójkątem równoramiennym (ramiona o długości \(r\)). Kąt między tymi ramionami ma miarę \(120°\), a więc na dwa pozostałe kąty zostało nam \(180°-120°=60°\). Kąty przy podstawie \(BC\) będą jednakowej miary (wynika to wprost z własności trójkątów równoramiennych), zatem każdy z nich będzie miał \(60°:2=30°\). Mamy więc następującą sytuację: Zadanie polega na podaniu miar kątów trójkąta \(ABC\), a więc: $$|\sphericalangle CAB|=30° \           ,\ |\sphericalangle ABC|=30° \           ,\ |\sphericalangle BCA|=90°+30°=120°$$

Teoria:      
W trakcie opracowania