Dany jest kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(sin\alpha=\frac{4}{5}\) oraz \(90°\lt\alpha\lt180°\).



Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Dla kąta \(\alpha\) spełnione jest równanie \(cos\alpha=-\frac{3}{5}\)
Dla kąta \(\alpha\) spełnione jest równanie \(|tg\alpha|=\frac{3}{4}\)

Dla kąta \(\alpha\) spełnione jest równanie \(cos\alpha=-\frac{3}{5}\)

Odpowiedź:      

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania. Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że: $$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \           ,\ \left(\frac{4}{5}\right)^2+cos^2\alpha=1 \           ,\ \frac{16}{25}+cos^2\alpha=1 \           ,\ cos^2\alpha=\frac{9}{25} \           ,\ cos\alpha=\frac{3}{5} \quad\lor\quad cos\alpha=-\frac{3}{5}$$ Z treści zadania wynika, że kąt \(\alpha\) jest kątem rozwartym. Cosinus dla takich kątów przyjmuje wartości ujemne, stąd też rozwiązanie \(cos\alpha=\frac{3}{5}\) musimy odrzucić. Zostaje nam zatem, że \(cos\alpha=-\frac{3}{5}\), czyli zdanie jest prawdą. Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania. Z treści zadania wiemy, że \(sin\alpha=\frac{4}{5}\). Dodatkowo obliczyliśmy sobie przed chwilą, że \(cos\alpha=-\frac{3}{5}\). Korzystając zatem ze wzoru na tangens, możemy zapisać, że: $$tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha} \           ,\ tg\alpha=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} \           ,\ tg\alpha=\frac{4}{5}\cdot\left(-\frac{5}{3}\right) \           ,\ tg\alpha=-\frac{4}{3}$$ To oznacza, że \(|tg\alpha|=\frac{4}{3}\), więc zdanie jest fałszem.

Teoria:      
W trakcie opracowania