W trójkącie \(ABC\) dane są długości dwóch boków \(|AB|=12\), \(|BC|=8\) oraz miara kąta \(|\sphericalangle ABC|=60°\).



Oblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka \(A\).

Odpowiedź:      

\(|AD|=4\sqrt{7}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Środkowa trójkąta to prosta łącząca wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku tego trójkąta. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco: Krok 2. Obliczenie długości środkowej tego trójkąta. Spójrzmy na trójkąt \(ABD\). Znamy długości dwóch boków tego trójkąta i miarę kąta między tymi bokami. Chcąc więc poznać długość boku \(AD\) (czyli boku naprzeciwko kąta o znanej mierze), możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów: $$|AD|^2=|AB|^2+|BD|^2-2\cdot|AB|\cdot|BD|\cdot cos60° \           ,\ |AD|^2=12^2+4^2-2\cdot12\cdot4\cdot\frac{1}{2} \           ,\ |AD|^2=112 \           ,\ |AD|=\sqrt{112} \quad\lor\quad |AD|=-\sqrt{112}$$ Ujemny wynik oczywiście odrzucamy (bo długość boku nie może być ujemna), zatem zostaje nam \(|AD|=\sqrt{112}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(|AD|=\sqrt{16\cdot7}=4\sqrt{7}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania