Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a+b)+b^2\gt3ab\).

Odpowiedź:      

Wykazano korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Rozwiązanie:      
Wymnażając nawias i przenosząc wszystko na lewą stronę, otrzymamy: $$a^2+ab+b^2\gt3ab \           ,\ a^2-2ab+b^2\gt0$$ Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że wartość \(a^2-2ab+b^2\) możemy zwinąć do postaci \((a-b)^2\), zatem zostanie nam nierówność: $$(a-b)^2\gt0$$ Krok 2. Zakończenie dowodzenia. Skoro \(a\) oraz \(b\) są różnymi liczbami, to różnica \(a-b\) jest różna od zera. Wiemy zatem, że w nawiasie znalazła nam się liczba różna od zera, którą podnosimy teraz do kwadratu. Jakakolwiek liczba (różna od zera) podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, co kończy nasze dowodzenie.

Teoria:      
W trakcie opracowania