Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(a, b, c\) spełniają warunek \(abc=1\), to \(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\).

Odpowiedź:      

Udowodniono sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości potęgowanych wyrazów. Podniesienie liczby do potęgi \(-1\) daje wynik, który jest odwrotnością potęgowanej liczby. To oznacza, że: $$a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$ Krok 2. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. Aby móc dodać do siebie te wszystkie ułamki musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie \(abc\), zatem: $$\require{cancel} \frac{1\cdot \cancel{a}bc}{\cancel{a}\cdot abc}+\frac{1\cdot a\cancel{b}c}{\cancel{b}\cdot abc}+\frac{1\cdot ab\cancel{c}}{\cancel{c}\cdot abc}= \           ,\ =\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{abc}$$ Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku. Z treści zadania wynika, że \(abc=1\), zatem: $$a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{1}= \           ,\ =bc+ac+ab=ab+ac+bc$$ W ten oto sposób dowód możemy uznać za zakończony.

Teoria:      
W trakcie opracowania