Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony jest wzorem \(a_{n}=2016-3n\), dla \(n\ge1\). Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Odpowiedź:      

\(S_{671}=676368\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie liczby dodatnich wyrazów ciągu \((a_{n})\). Aby dodać do siebie wartości wszystkich wyrazów dodatnich musimy najpierw ustalić ile ich tak właściwie jest w tym ciągu. Przykładowo gdy \(n=1\), to wyraz jest dodatni i jest równy \(a_{1}=2016-3=2013\). Jednak gdy \(n=1000\) to wyraz jest już ujemny i wynosi \(a_{1000}2016-3000=-984\). Aby obliczyć ile jest wyrazów dodatnich wystarczy rozwiązać następującą nierówność: $$a_{n}\gt0 \           ,\ 2016-3n\gt0 \           ,\ -3n\gt-2016 \           ,\ -n\gt-672 \           ,\ n\lt672$$ Wiemy, że w ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, czyli skoro \(n\lt672\) to będziemy mieli \(671\) wyrazów dodatnich. Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów dodatnich. Sumę wszystkich wyrazów obliczymy w następujący sposób: $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \           ,\ S_{671}=\frac{a_{1}+a_{671}}{2}\cdot671 \           ,\ S_{671}=\frac{(2016-3\cdot1)+(2016-3\cdot671)}{2}\cdot671 \           ,\ S_{671}=\frac{2013+3}{2}\cdot671 \           ,\ S_{671}=\frac{2016}{2}\cdot671 \           ,\ S_{671}=1008\cdot671 \           ,\ S_{671}=676368$$

Teoria:      
W trakcie opracowania