Rozwiąż nierówność \(3x^2-6x\ge(x-2)(x-8)\).

Odpowiedź:      

\(x\in(-\infty;-4\rangle\cup\langle2;+\infty)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę. To bardzo ważny krok o którym często się zapomina. Aby móc rozwiązać taką nierówność kwadratową np. za pomocą metody delty musimy mieć wszystkie wyrazy po lewej stronie, zostawiając po prawej tylko zero. Zatem: $$3x^2-6x\ge(x-2)(x-8) \           ,\ 3x^2-6x-(x-2)(x-8)\ge0$$ Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych powstałej nierówności. Aby obliczyć miejsca zerowe musimy albo przedstawić tę nierówność w postaci iloczynowej (wtedy przyrównamy każdy z nawiasów do zera i tak wyznaczymy miejsca zerowe) albo przedstawić tę nierówność w postaci ogólnej typu \(ax^2+bx+c\) i wtedy skorzystamy z metody delty. Z racji tego iż zamiana na postać iloczynową nie jest tak oczywista i łatwa (po różnych przekształceniach dałoby się to zapisać jako \((x-2)(2x+8)\ge0\)), to my skorzystamy z metody delty, zatem: $$3x^2-6x-(x-2)(x-8)\ge0 \           ,\ 3x^2-6x-(x^2-8x-2x+16)\ge0 \           ,\ 3x^2-6x-x^2+8x+2x-16\ge0 \           ,\ 2x^2+4x-16\ge0$$ Współczynniki: \(a=2,\;b=4,\;c=-16\) $$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot2\cdot(-16)=16-(-128)=16+128=144 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-12}{2\cdot2}=\frac{-16}{4}=-4 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+12}{2\cdot2}=\frac{8}{4}=2$$ Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli. Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) był dodatni. Zaznaczamy miejsca zerowe obliczone przed chwilą (kropki zamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\ge\)) i szkicujemy wykres paraboli: Teraz odczytujemy z wykresu dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero. Wyraźnie widzimy, że jest to zbiór \(x\in(-\infty;-4\rangle\cup\langle2;+\infty)\).

Teoria:      
W trakcie opracowania