Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy \(32\), a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę \(2\). Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy \(6\), to otrzymamy liczbę \(\frac{8}{17}\). Wyznacz ten ułamek.

Odpowiedź:      

Poszukiwany ułamek to \(\frac{14}{23}\).

Rozwiązanie:      
Krok 1. Stworzenie odpowiedniego układu równań. Jeżeli szukany ułamek zapiszemy jako \(\frac{x}{y}\) to na podstawie danych z treści zadania stworzymy następujący układ równań: \begin{cases} \frac{x+32}{y}=2 \           ,\ \frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17} \end{cases} Krok 2. Rozwiązanie układu równań. Najprościej jest ten układ równań rozwiązać metodą podstawiania. W tym celu musimy z pierwszego równania wyznaczyć np. iksa: \begin{cases} \frac{x+32}{y}=2 \quad\bigg/\cdot y \           ,\ \frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17} \end{cases} \begin{cases} x+32=2y \quad\bigg/-32 \           ,\ \frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17} \end{cases} \begin{cases} x=2y-32 \           ,\ \frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17} \end{cases} Teraz wyznaczoną z pierwszego równania wartość \(x=2y-32\) podstawiamy do drugiego równania, otrzymując: $$\frac{2y-32-6}{y-6}=\frac{8}{17} \           ,\ \frac{2y-38}{y-6}=\frac{8}{17}$$ Mnożymy obie strony na krzyż: $$17\cdot(2y-38)=8\cdot(y-6) \           ,\ 34y-646=8y-48 \           ,\ 26y=598 \           ,\ y=23$$ Podstawiając \(y=23\) do jednego z dwóch równań zapisanych w pierwszym kroku obliczymy wartość \(x\): $$\frac{x+32}{y}=2 \           ,\ \frac{x+32}{23}=2 \           ,\ x+32=46 \           ,\ x=14$$ Poszukiwanym ułamkiem jest więc \(\frac{14}{23}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania